Libres por el sombrero

Esta es la solución para 5 colores, pero vale para cualquier número de colores.
Asignamos a cada color un número: 0, 1, 2, 3, 4 . El último suma todos los colores que hay delante de él y luego divide esa suma entre 5, de esta forma sale un resto que puede ser 0, 1, 2, 3, 4 . Dice el color correspondiente al resto que le haya salido. El penúltimo hace lo mismo, sumar todos los colores que están delante de él y divide entre 5. Supongamos que el último obtuvo por resto de la división 3 y el penúltimo obtuvo por resto de la división 1. Esto quiere decir que el color del penúltimo es un 2 pues es la diferencia entre 3 y 1. Así sucesivamente se salvan 99 presos seguro y el ultimo tendría una probabilidad de un 20% (pues son 5 colores).

En el primer apartado, sólo habría que asignar un numero de 0, 1 a blanco y negro y las divisiones se realizarían dividiendo entre 2. Alguien puede preguntarse cómo calcula el penúltimo su color si el último obtiene un resto menor que el penúltimo, por ejemplo el último 1 y el penúltimo 3. En este caso habría que añadir 5 al 1 y se restaría 6-3=3 .

Matemáticamente lo que se hace es definir la siguiente relación: dos números están relacionados si al dividir entre 5 se obtiene el mismo resto. El 1 está relacionado con el 6 con el 11, con el 16, etc.... EL 2 está relacionado con el 7 con el 12 con el 17 etc.... El 3 con el 8, con el 13 con el 18 etc... Con esta relación el 1 está relacionado con el 1+5=6 por eso se sumó 5 al 1. Como diría un matemático: se trabaja en Z5 donde solo hay 5 elementos: la clase del 0 formada por los que están relacionados con el 0, o lo que es igual por los que dan resto 0 al dividir entre 5, es decir: 0, 5, 10, 15, 20, etc... La clase del 1 formada por los que estan relacionados con el 1 o lo que es igual por los que dan  resto 1 al dividir entre 5, es decir, 1, 6, 11, 16, 21,... La clase del 2 formada por los que estan relacionados con el 2 o, lo que es igual, por los que dan resto 2 al dividir entre 5, es decir, 2, 7, 12, 17, 22... La clase del 3 formada por los que estan relacionados con el 3 o lo que es igual por los que dan resto 3 al dividir entre 5, es decir, 3, 8, 13, 18, 23, 28, etc.. y la clase del 4 formada por los que estan relacionados con el 4 o lo que es igual por los que  dan resto 4 al dividir entre 5, es decir, 4, 9, 14, 19, 24, 29, etc...

¿Cómo se suma en Z5? Representemos las clases mediante [0], [1], [2],[3], [4] Supongamos que quiero sumar [1]+ [3] el resultado es [4]. Veamos ahora como sumo [3]+[4] ,es clase del 7, [7] ,pero esta clase ES IGUAL A [2] . Lo que hacemos es buscar en que lista de las anteriores está el 7 y vemos que está en la clase del 2 luego [3] + [4]=[7]=[2]. Es decir la suma de elementos de Z5 siempre es otro elemento de Z5. Lo mismo ocurre al multiplicar . Ejemplo [3] x [4]=[12]=[2] porque 2 y 12 están relacionados porque al dividir entre 5 en ambos casos se obtiene 2.